你或许已熟知这样一个原理：
当有n个笼子和n+1只鸽子，那么至少有一个笼子里有2只鸽子。
这就是“鸽巢原理”，又名"抽屉原理"或"鸽笼原理"等等。
这个原理听上去简直像废话，这是小学生都能懂的道理。但它既然能在数学里留下名字，它当然是很有用的一个原理，绝不是只能简单处理把鸽子放进笼子这样的情况。那么以下，我列举一些可以用鸽巢原理证明的有趣命题和结论。
先来一个比较简单的，生活化的例子。有若干人，在一个房间里聚会。聚会开始时互相握手认识。那么有这样一个结论：
在任何时刻，总存在两个人，与这两人握过手的人数，是相等的。
证明如下：
假设有一共有n个人，那么每个人可以握手的人数就是从0到n-1，一共有n种可能。一共有n个人，那么看上去似乎鸽巢原理用不上了呢？别急，这里面还有一个情况。如果有一个人，与其握过手的人数是n-1，那么就不应该有另一个人，与其握过手的人数是0了。同理，如果某个人一次也没有跟其他人握手，那么就不会有另一个人，与n-1个人握手。所以“0”与“n-1”，这两个数字不能共存。因此所有人的可能握手人数，其范围要么是从1到n-1，要么是从0到n-2，一共n-1种可能。
而总人数有n个人，所以必然存在2个人，他们的握手人数相等，证明完成。这个问题也经常用锦标赛来描述，结论就是，在一场锦标赛里，任何时刻总有两个人或两支队伍，他们比赛过的场次数是一样的。这是第一个例子。
再来一个比较偏数学的例子，考虑这样一个数列：
7, 77, 777, 7777，77777，777777, …
即由若干个7连写的数字构成的数列。请证明：这些数字中，至少有一个能被2027整除。
当然，你可以一个一个去试，直到找到这样一个能被2027整除的数字。但是这样很麻烦，即使用电脑编程求解，你也不知道程序需要跑多久。另外，2027是一个质数，所以你不用考虑与质因数分解相关的方法。
这里有一个使用鸽巢原理，且非常简洁的证明方法。而且，可以证明更强的结论：这个序列里不但肯定有可以被2027整除的数字，而且这个数字出现在前2027项以内。以下是证明。
首先，用反证法。假设这个数列的前2027项里，所有数字都不能被2027整除。那么这些数字除以2027，都会有余数，余数的取值范围是从1到2026，一共2026种。根据鸽巢原理，这个数列里的前2027中，必然有两个数字，它们除以2027后，所得余数相等，那么现在有意思了。
我们把这两个数字取出来，把大的那个去减去小的那个，考察相减后的数字。因为原先两个数字除以2027后余数相等，所以它们相减后，它们的差必然可以被2027整除，这一点是比较容易确认的。那么再看一下这个差值数字的形式。因为原先两个数字都是7连写构成的数字，那么它们相减后必然所得数字必然是若干个7在开头，后面有若干个0的形式：
7…70….0
这个数字可以改写为 7…7 × 
而这个证明也告诉我们，一般来说“鸽巢原理”给出的结论都是存在性的，而不是构造性的。这也是数学奇妙的地方之一，它可以告诉你一个东西肯定存在，但不知道在哪里。
再看一个比较生活化的例子。请证明：在任何一年，最少有4个月份，最多有5个月份，包含5个星期天。
你不信的话，可以马上看一下日历，数数有哪几个月有5个星期天。那么可以告诉你，有5个星期天的月份总是4个或5个，不过多也不会少。这个结论，可以简单得用鸽巢原理证明，大概也是唯一的方法。
因为一年365或366天，也就是52个星期多1天或2天。那么一年里至少有52个星期天，最多53个星期天（如果这一年元旦恰好是星期天）。我们要把这些星期天，分布到12个月里。因为每个月至少28天，至多31天，也就是每个月至少有4个星期天，最多5个星期天。
那么，现在就可以反证法了。如果只有3个月份有5个星期天，那么其他9个月份都是4个星期天，总共是3×5+9×4=51个星期天，就与这一天年至少有52个星期天矛盾了。而如果有6个月份有5个星期天，那么其他6个月份是4个星期天，总的星期天数量是6×5+6×4=54，这就与一天中最多53个星期天矛盾了。所以，一年中最少有4个月，最多有5个月份，包含5个星期天，证明完成！
而用鸽巢原理还能得出一些令人吃惊的有趣结论。比如，有这样一个结论：全体北京人中间，至少有两个人的头发数量相同，排除光头。这很好理解，因为人的平均头发数量是10万，不会超过15万，北京人口远超这个数量，所以北京肯定有2个人有相同的头发数量。而且北京人口实际超过2千多万，所以这个结论可以加强为：北京肯定有100个人，他们有相同数量的头发。
“鸽巢原理”可以告诉我们的一个最惊人的结论是这样一个（大概率成立的）命题：在最近1000年以内，存在这样一个历史上的人，这个人是你的父母亲的共同祖先！也就是，你的父母都是这个人的后代。
你可能会说，这怎么可能，我变成近亲结婚的后代了吗？你先别急，1000年以内，从生物学上讲已经完全不是近亲了。但是，这个结论是成立的吗？那么我们来论证一下这个结论，它可以用鸽巢原理非确定性的证明，但是大概率是成立的。
首先，如果我们从自己的父母向上追溯人口的话，你会发现每向上一代，你的祖先人数就会翻倍。你的父母有两个人；你的祖父祖母、外公外婆是4个人。你向上追溯n代，那么你就会有$2^n$个祖先。
那么我们假设每25年，有一代人的更迭。那么1000年的话，大约是40代。如果你的祖先40代，都是不同的人，那么总的人数就是
但为什么说这不是一个100%严谨的证明呢？因为还存在这样一种可能：你父亲这一支向上的祖先，发生过很多的合并，也就是你父亲的祖先里，有很多人有共同的祖先。同样，你母亲这一支的祖先中，也有很多人有共同的祖先。这样你父母亲的祖先这两支人口，就不需要那么多人了，有可能，你父母的祖先在1000年内完全是两个没有交集的群体。但这也说明，如果以上结论对你不成立，那么这个结论就会对你的父母更大概率的成立。
这就是鸽巢原理告诉我们的一个反直觉结论。它让我想起了一些延伸的结论。既然以上结论适合你的父母，其实它也适合任何两个人。
比如，中国人有句俗语，对同姓氏的人，我们常说“五百年前是一家”。根据以上推导，这句话还真不是一句客套话，而是可以从数学上证明的。同姓氏的两个人，非常有可能在500年内，有一个共同祖先，尤其是那些不常见的姓氏。
那么有关鸽巢原理，就聊到这里。鸽巢原理虽然内容简单，但是它确实能帮我们证明一些意想不到的结论。最后，出两道有意思的，与鸽巢原理相关的思考题，供大家消遣娱乐：
史密斯夫妇，邀请4对夫妇到家里来玩。这4对夫妇中，有些人是史密斯先生的朋友，有些是史密斯太太的朋友，有些互相之间认识，有些不认识。当这4对夫妇到达史密斯夫妇的家中后，所有之前互相认识的人都握手了一下。史密斯先生发现了一个有意思的情况，他说：如果把我排除在外，剩下的人中，每个人握手的次数都是不同的。这里，有两个隐含条件是：自己不会跟自己握手，夫妻之间也当然不需要握手。现在的问题是：史密斯太太握了几次手？
这个问题听上去是不是有点不可思议，因为已知条件如此至少，怎么突然就问史密斯太太握了几次手？但是，根据鸽巢原理，确实可以唯一的确定史密斯太太的握手次数。请你来做一次侦探，推理出这个数字。
参考文档：
大老李聊数学 