2022年菲尔兹奖得主做了啥——詹姆斯·梅纳德

不久前，四年一度的数学届的最高奖项之一，菲尔兹奖的颁奖结果已经宣布，产生了四位获奖者。有网友想让我介绍一下这四位获奖者的数学上的主要成果，所以我准备就做这样一个系列的节目，给大家介绍下几位获奖者的主要数学成果和一些有趣的生平经历。

（詹姆斯梅纳德的近照，转自Quanta Magazine）

第一篇文章，我就介绍詹姆斯·梅纳德(James Maynard，1987年6月10日－)。梅纳德的主要研究领域是解析数论。解析数论是用各种数学分析的手段研究数论的数学领域。数论就是研究数字性质的理论，而数字的性质最重要的莫过于自然数，自然数中最重要的莫过于质数。一些爱好者熟悉的容易理解，却又非常困难的数学猜想，比如哥德巴赫猜想、孪生素数猜想，乃至黎曼猜想，都属于解析数论中的问题。数论是大家喜闻乐见的领域。但对爱好者来说，这也是一个容易误入歧途的领域，我绝对不建议各位业余爱好者研究以上几个猜想。即使是专业数学研究者，要投身这一领域，也是要冒很大风险的。而梅纳德就选择了这一领域，并且在2013年，其刚取得博士学位不久，就得到了解析数论中的一个大的成果，这个成果是关于孪生素数猜想的。

孪生素数猜想：

那些大小仅相差2的质数对，称为“孪生质数”，比如：3和5，5和7,11和13，10016957和10016959等。

孪生素数猜想是指：存在无穷多对“孪生质数”，这个猜想至今仍未被证明。目前，已证明的最好结论是：

存在无穷多对质数，其大小之差不超过246。

说到2013年和孪生素数猜想，我相信你能想到的一个新闻就是：时年55岁的张益唐证明了存在无穷多个对素数，其间隔小于7000万。因为这是第一次证明存在无穷多对质数，其间隔有一个有限上界，再加上张老此前一直默默无闻，经历也颇具戏剧性，所以张益唐的名字很快上了各大新闻，为大家所熟知。张老的这个发现确实很重大，确实值得一书。

但不为大众所熟知的是，就在张老的论文发表后的半年，梅纳德也发表了一篇关于素数间隔的论文。这篇论文实际上证明了，存在无穷多对质数，间隔小于600，所以他的结果要比张益唐的强。梅纳德的结果甚至更为一般化，他给出了任意连续数量的质数的最小间隔，比如存在无穷多组连续三个、四个、五个质数等等，其中最小的和最大的那个间隔是多少。所以，这是一个相当好的成果。

但问题就在于梅纳德发表论文的时间比张益唐晚了半年，他也只是一名26岁初出茅庐的博士，所以他的这个成果并没有引起什么关注，很多人也只是认为他改进了张益唐的结果。但在数论专家眼里，梅纳德当时的结果是非常出色的。在外人看来，梅纳德在这件事上运气不太好，但这在数学领域中是再正常不过的情况。同一个问题，如果有很多人在研究，那么往往只有第一个解决的人可以得到大部分荣誉。

而梅纳德在这个问题上，他不但与张益唐撞车了，他还与另一位功成名就的数学家撞车了，那就是陶哲轩。

陶哲轩在看到张益唐发表了他的论文之后，对素数最小间距问题产生了很大的兴趣。陶哲轩把这个问题加入了一个一个数学领域的集体合作项目——Polymath，目标是改进张益唐的结果。很快，几乎与梅纳德同时，陶也把最小间距进行了大幅改进到几百的数量级。所以，梅纳德不幸与陶哲轩撞车了。

当陶哲轩得知梅纳德也得到了相同的结果时，表现得非常大度，甚至还有点开心。陶说：“诚实地说，梅纳德的证明比我写得简洁干净，而且他得到了比我略强的结果”。陶哲轩为了避免梅纳德的成果被忽视，选择了不正式发表他的结果，也不与梅纳德共同署名发表论文。因为他知道，如果共同署名，那么多数人会认为他的贡献是主要的，但这不是事实。最终，梅纳德单独就这个成果发表了论文，这是梅纳德的幸运之处。现在我们知道这个质数最小间隔已经被缩小到246。

尽管梅纳德失去了在2013年一举成名的一次机会，但这不影响他对数学的热情和质数的热爱。2014年，梅纳德有发表了一篇有关质数最大间距的问题的论文。我们知道，相邻两个质数之间的间距可以是任意大，这是很容易证明的。但如果问：在多大的自然数范围内，其中一定有一定间隔的质数，这就是质数的大间距问题。梅纳德在2014年，在这个领域，同样给出了一个改进的结果。

质数的大间距问题。2014年，梅纳德证明了，在前x个自然数中，必然存在一对质数，其间隔大于：

t(1+o(1))\frac{(\log x)(\log \log x)(\log \log \log \log x)}{(\log \log \log x)^{2}}

其中，t是某个常数。陶哲轩几乎在同一时刻，证明了非常相似的结论。

但这次不幸的是，他又与陶哲轩撞车了。陶哲轩和另两名合作者几乎在同一时间，在这个问题上给出了几乎同样的结果。此后，陶哲轩与梅纳德撞车的事情，在数论圈里成了一个梗。以至于2015年，当陶哲轩证明了“埃尔德什偏差问题”的时候，他从侧面向梅纳德身边的人打听了一下，询问梅纳德是否在证明同样的问题。当他得知否否定的回答后，陶哲轩长出一口气，心说，终于没有撞车了。

埃尔德什偏差问题并不是数论里的一个典型问题，而梅纳德则继续专心在解析数论的领域。2019年，梅纳德解决了有80年历史的一个猜想：达芬——舍费尔猜想（Duffin-Schaeffer conjecture），这个猜想是关于用有理数去近似逼近无理数的。

很早以前的人们就知道用有理数去近似无理数。比如关于\pi ，祖冲之就给出两个近似值，\frac{22}{7} 和\frac{255}{113} 。如果问：能否用有理数分数无限的逼近无理数，答案当然是可以。因为你总可以把无理数在某个小数点后截断，然后当成一个有理数并转化成分数。这个分数当然可以任意的接近这个无理数。

但显然，当我们用有理数近似无理数的时候，我们希望这个有理数的分母越小越好。比如\frac{355}{113} ，约等于3.1415920，那在近似\pi 这件事情上，它肯定要比分数\frac{314159}{100000} 好非常多，因为\frac{355}{113} 用了更小的分母，完成了更高的近似度。

那么，数学家就问了这样一个问题：当寻找无理数的近似分数的时候，近似程度的效率可以达到多大？这里的“效率”的意思就是分母尽可能小，近似程度尽可能高。

关于这个问题，1837年，数学家狄利克雷证明了这样一个结论：当用有理数分数去近似无理数时，总可以找到一个近似分数，如果这个分数的分母是n，则它与这个无理数之间的误差小于\frac{1}{n^2} 。也就是，当使用分数近似无理数时，它与目标无理数的误差以分母平方的倒数快速逼近。

比如\frac{22}{7}，它与\pi的误差小于\frac{1}{49}，\frac{355}{113}latex 与\pi的误差小于\frac{1}{113^2}。倒过来考虑也可以，比如，当需要找到一个分数与\pi的误差小于一万分之一，那么存在符合这个要求的某个分数，而且分母小于100，因为100的平方是1万。

狄利克雷的这个定理当然非常有用，它说明有理数在近似无理数时，是非常有效率的。但数学家还没完，他们继续发问：如果对近似分数的分母施加限制，结果会如何？比如说，只允许分母取1到9；或者分母的个位数只能是1；或者分母只能是质数等等，加入这些条件后，近似效率会如何？

那么显然，对分母取值范围的限制会限制近似程度。对分母的限制越大，近似程度就会越低。在1941年，两位数学家，达芬和舍费尔对这个问题提出了一个定量化的猜想，讨论对分母的限制程度会如何限制近似程度，这个猜想后来就被称为达芬——舍费尔猜想。

曾经的“达芬—舍费尔猜想”，现在叫“达芬—舍费尔—库库洛普洛斯—梅纳德定理”，它的内容是：

如果函数f为: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^{+}，那么“几乎”对所有的\alpha，以下不等式：

\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|<\frac{f(q)}{q}

其有无穷多的、互质的整数解p和q时，当且仅当p，q有以下条件：

\sum_{q=1}^{\infty} f(q) \frac{\varphi(q)}{q}=\infty。

其中的\varphi(q)是欧拉\varphi函数，意思是小于等于q的自然数中与q互质的整数个数。

“几乎”是一个数学术语，可以简单理解为“例外情况非常少”，例外的情况占总数的比值趋向于0。

如果定义f(q)=\frac{1}{q}, 又当q为质数时，\phi(q)=q-1，则：

\sum_{q=1}^{\infty}f(q)\frac{\varphi(q)}{q} =\sum_{q=1}^{\infty}\frac{1}{q}\frac{q-1}{q}=\sum_{q=1}^{\infty}(\frac{1}{q}-\frac{1}{q^2})，

发散。意味着不等式：

\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|<\frac{f(q)}{q}=\frac{1}{q^2},有无穷多组解。这就回到了狄利克雷所证明的情况。

近80年后，梅纳德和另一位合作者共同证明了达芬-舍费尔猜想，这是梅纳德的又一项主要数学成果。那么现在达芬-舍费尔猜想应该怎么称呼呢？如果叫“达芬——舍费尔定理”其实不太公平。之前有读者指出，当一个猜想被解决后，应该在后面增加证明者的名字，再改称定理。比如“费马大定理”，应该改称“费马——怀尔斯定理”。这种说法有些道理。那么按照这个原则，“达芬-舍费尔猜想”现在就应该被叫做“达芬-舍费尔-库库洛普洛斯-梅纳德定理”，你能否记住这个名字我就管不着了。

最后，来一个梅纳德证明的，一个非常容易理解，又是非常难以证明的定理。它同样是关于质数的：存在无穷多个质数，它的10进制表示中，没有“7”，而且把数字“7”换成任何0到9中的任何一个数字，此结论都成立。这个结论非常有意思，它也是告诉了我们一些质数的分布规律。

梅纳德证明了，在质数表中，删去所有含有数字“7”的质数，这个质数表仍然可以无限地写下去：

2, 3, 5, 7, 11, 13,17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 …

删除含有0到9的任何一个数字后，仍然有同样的结论。

而且梅纳德是从更大的进制单位开始证明这个结论的。你可以想象，在更大的进制下，单个数字所起的作用就会小许多，这个命题的证明难度也会变小。比如100进制下，每一位有100种取值。去掉其中一种，对整体上可表示的数字范围的影响是非常小的。所以梅纳德就从更大的进制开始，逐步向10进制逼近。

据说，在12进制的情况下，梅纳德卡住了非常长的时间。但他还是坚持了下来，完成了10进制下的证明，他自己对此结果也是非常满意。但目前，没有看到梅纳德继续往9进制以下证明的消息，我们可以简单分析一下，进制单位再缩小会如何。

极端一些，直接从2进制看，显然一个质数不可能都是由0构成。那么是否存在无穷多个由1构成的二进制质数呢？其实全部由1构成的二进制质数，就是梅森质数。是否存在无穷多个梅森质数，目前猜想是真，但至今仍未证明。这个猜想已经存在数百年之久，当然是非常困难的。

关于梅森素数：

容易证明对2^n-1形式的数字，仅当n为质数时，其可能为质数。对那些形如2^p-1类型的质数，称为“梅森素数”，比如:

2^2-1=3，

2^3-1=7，

但：

M_{11}=2^{11}-1=2047=23 \times 89，不是质数。

至今未能证明：存在无穷多个质数p，使得2^p-1是质数，也未能证明：存在无穷多个质数p，使得2^p-1是合数。

而所有的的梅森素数，其二进制形态都是若干个1的连写：

111…..111。

3进制会如何呢？感觉上可以存在无穷多个没有数字“0”、”1“或”2”的3进制质数。但同样，要证明此结论是非常困难的。

那么以上简单分析可以看出，梅纳德证明的结论是可以压缩到2进制的。但是个人感觉，进制数再往下的话，问题的难度呈直线上升，以至于梅纳德目前也就停留在十进制的结论下。

好了，以上给大家简单介绍了一下梅纳德的数学成就，可以看出，梅纳德对质数有执着的偏好。众所周知，关于质数的数学命题往往都是非常困难的。梅纳德的博士导师也曾劝梅纳德不要研究那些关于质数的猜想，但梅纳德对质数有执着的偏好和信念，所以仍旧投身了这一研究领域，并且得到了一些杰出的成果。恭喜梅纳德，下期文章再见！

参考链接：

https://www.quantamagazine.org/new-proof-settles-how-to-approximate-numbers-like-pi-20190814/

https://www.quantamagazine.org/number-theorist-james-maynard-wins-the-fields-medal-20220705/